Fraktali

Šta su fraktali? I šta znači da su to samoslično skalarno invarijantne linije?

Dok su pravilne figure sačinjene od pravih duži, ove figure se sastoje od razlomljenih linija koje se sastoje od manjih celina. Međutim, nije svaka razlomljena i isprekidana linija fraktalna. Glavna tajna fraktala je ta što su delovi njegovih linija sasvim nalik na ceo lik fraktala, što se naziva samosličnošću, kao i da koliko god da im blizu prilazite, uvek vidite isti lik, što predstavlja famoznu skalarnu invarijantnost. Ma kako delovale fascinantno, ispostavilo se da su ove egzotične Mandelbrotove linije, u velikoj meri promenile način na koji vidimo svet.

Matematičari pre Mandelbrota su fraktale smatrali prekomplikovanim da bi se proučavali - u najmanju ruku neugodnim što se neke od geometrijskih figura nacrtane po sasvim pristojnim analitičkim formulama neobjašnjivo pretvaraju u te diskretne, fascinirajuće razlomljene oblike. Nakon što ih je Mandelbrot jasno i jednostavno objasnio, uvodeći ih u matematiku, najednom je postalo očigledno da fraktali nisu samo retke i besmislene matematičke konstrukcije, nego nas svuda okružuju – u krošnjama stabala, u pukotinama na asfaltu, u oblacima, u listovima kupusa, u liniji morske obale, planinskim vencima i snežnim pahuljicama, čak i na ljudskom dlanu. Fraktali su neizostavni u proučavanju fenomena haosa, a često služe da opišu i mnoge pojave u fizici čvrstog stanja.

Ukoliko ste ikada videli drvo, držali u ruci pahuljicu, gužvali novine, gledali oblake, skupljali školjke i puževe, udisali vazduh i mirisali cveće niste daleko od odgovora. Upravo sve nabrojano poseduje fraktalnu strukturu. Drvo raste tako što grana ispusti pupoljke iz kojih izrastu nove grane. Ove nove grane ponašaju se identično kao i ona od koje su nastale, samo što su manje. I to je to, sačekate koju godinu i imate drvo. Lepota kompleksne strukture drveta upravo se sastoji u jednostavnosti pravila kojima je napravljeno.

Odrastao čovek nakon svog rođenja poraste oko 3 puta. To znači da se njegova telesna masa (u idealnom slučaju) poveća oko 27 puta (tri na treći) i logično je da mu je potrebno otprilike toliko puta više kiseonika nego kada je bio mali. Međutim, vazduh u plućima apsorbuje se na površini koja je u tom slučaju porasla 9 puta (tri na kvadrat) - čak četiri puta manje nego što je to potrebno.

Priroda je rešenje za ovaj problem našla u “povećanju” fraktalne dimenzije površine pluća sa dva na ekstremnih 2.9 čime se apsorpcija kiseonika u našem primeru poveća sa 9 na oko 24 puta. Ovo je samo jedan od primera gde se fraktalnost u živom svetu javlja kao rešenje optimizacije nekih funkcija organizma. Veličina lobanje ograničava zapreminu mozga, a on teži da poveća površinu, te zato poprima takvu strukturu. Krvni sudovi u organizmu isto predstavljaju jedan od primera fraktala.

Prilikom nastanka snežne pahuljice površinski napon teži da smanji površinu i napravi sferni oblik, dok ga sama kristalizacija ometa u tome težeći da postavi molekule vode u tačno određene međusobne položaje. Borba ovih dveju sila za posledicu ima tako kompleksnu strukturu pahuljice. U skoro svakoj grani moderne fizike javljaju se objekti koji imaju fraktalnu strukturu (bilo u realnom prostoru, bilo na nekom apstraktnijem nivou). Samosličnost kao njihova osobina pomaže fizičarima da ih proučavaju tako što im poznavanje osobina jednog dela sistema daje sliku o celom sistemu ukoliko utvrde kako se osobine menjaju skaliranjem.

Reljef planete sledi fraktalnu strukturu

Sa buđenjem fraktalne geometrije sredinom osamdesetih godina XX veka, fraktali su postali toliko popularni da su na hiljade mladih naučnika i inženjera napuštali svoje oblasti kako bi istraživali čudesni svet fraktala. A sve je počelo sa već pomenutim matematičarem Mandelbrotom, čija je bogata naučna karijera i sama ličila na fraktal. “Ako uzmete početak i kraj, imao sam konvencionalnu karijeru”, rekao je jednom prilikom. “Ali, između se nije nalazila prava linija, već jedna vrlo izlomljena. Kao i svaki život, uostalom."

Benoa Mandelbrot (1924 - 2010) se rodio u Varšavi, u porodici jevrejskog porekla. Zbog straha od širenja nacizma, Mandelbrotovi su se 1936. doselili u Francusku. Kad je bio dečak, Benoa je prvu matematiku učio na podstrek ujaka u Parizu, ali ga je rat sprečio da dalje prati redovno školovanje. Kada su nacisti stigli i do Pariza, Mandelbrotovi su pobegli u relativno zabačeni grad Tula na jugu zemlje, skrivajući se kako bi preživeli. “Imao sam mladost sa mnogo događaja”, rekao je u jednom od intervjua opisujući svoje skrivanje od nacista tokom rata. “Imali smo mnogo sreće, ali verovatno nije slučajno što sam počeo da izučavam turbulencije i rizik. One su bile sastavni deo mog života”, rekao je Mandelbrot.

Nakon rata, ovaj jevrejski dečak se vratio matematici, prvo u Parizu, a zatim u Americi gde je doktorirao na Prinstonu kod slavnog profesora Džona fon Nojmana. Međutim, po njegovim rečima, prekid u školovanju je uticao na to da nikada ne sagledava matematiku na konvencionalan način, već da “sve gleda kroz geometriju”. To ga je i odvelo u njena najegzotičnija područja. Isprva se, početkom pedesetih godina, bavio teorijom infromacija i ekonomskom teorijom.

Mandelbrot je sa suprugom napustio Evropu i pridružio se istraživačkom odeljenju pri kompaniji IBM u Americi, gde je radio 35 godina, sve dok 1987. IBM nije odlučio da ugasi teorijska istraživanja u kompaniji. Šezdesetih godina, Mandelbrot počinje da rešava jedan vrlo stari matematički zadatak, što dovodi do objave kultnog rada: “Koliko je duga obala Britanije?” (u časopisu “Sajens)”. Ovaj u suštini geometarski zadatak da se odredi tačna dužina obale je, naime, pre toga bio nerešiv, ma kako naizgled bio trivijalan. Paradoks je bio u tome da ako geometar obalu posmatrata sa veće visine, vidi liniju jedne dužine, ali, ako joj se malo približi, videće kako obala postaje detaljnija i više razuđena, što, logično, povećava dužinu same linije obale.

Tako merenje zavisi od skale, odnosno razmere, na kojoj ga geometar izvodi. Matematički fraktal zapravo nema granicu, on se širi do beskonačnosti. U konkretnom primeru Britanije, ako de koristi osnovna jedinica od 200 km, dužina će biti 2400 km, a ako se usitni razmera i koristi jedinična duž od 50 km, dužina obale postaje 3400 km. Mandelbrot je zaključio da je linija obale samoslična, što će kasnije postati glavna osobina svih fraktala. Takođe je izračunao da Hausdrofova dimenzija ove figure nije jedan (jedan je dimenzija obične linije), ali nije ni dva (što je dimenzija neke ograničene površi u ravni), već da ovakvi objekti imaju necelobrojnu, fraktalnu dimenziju, koja je u slučaju britanske obale 1 ceo i jedna četvrtina. Narednih godina, Mandelbrot je nastavio da izučava “obalske” strukture, da bi 1979. godine opisao jedan od najsloženijih geometrijskih oblika sa vrlo jednostavnom analitičkom formulom, koji nacrtan u ravni kompleksnih brojeva se zapravo pretvara u beskonačan oblik. Ovaj fraktal je kasnije dobio naziv po njemu – Mandelbrotov skup. Predivni bojeni patern ovog fraktala, čiji se “mehuri” sasvim jednako ponavljaju što mu se više približavate, postaće simbol nove matematike. Godinama će se pojavljivati na stotinama udžbenika, časopisa i računarskih skrinsejvera.

Mada neprekidno napadan zato što izučava budalaštine, svoje ključno delo Fraktalna struktura prirode, Mandelbrot je konačno objavio 1982. godine i napravio potpunu revoluciju. Pisano jasnim, lepim jezikom, ovo delo je steklo veliki broj poklonika i izvan sveta matematike. To je podstaklo ubrzani razvoj fraktalne geometrije, kao i neke sasvim nove uvide u teoriju haosa, koja se poslužila tom novom matematikom da opiše fizičke sisteme koji imaju sklonost da iz finog, determinističkog kretanja, sami pređu u haos. Izučavanju fraktala narednih godina posebno doprinosi razvoj računara, koji omogućuju da se na osnovu jednostavnih formula u velikom broju iteracija ove složene figure nacrtaju.

Mandelbrotov skup:

Ponudio je i jedno alternativno rešenje čuvenog Olbersovog paradoksa. Ovo davno postavljeno astronomsko pitanje vezano je za beskonačnost svemira i kaže da ako već ima beskonačno mnogo zvezda, zašto nebo noću ne blješti – ako ih ima beskonačno, zvezde se moraju nalaziti u svakoj tački neba. Ustaljeno objašnjenje, sasvim u savremenom duhu modela Velikog praska, smislio je još slavni američki pisac i astronom amater Edgar Alan Po – nebo ne blješti jer se svemir širi i svetlost ne stiže iz svake tačke odjednom na Zemlju.

Mandelbrot je, međutim, predložio i drugu mogućnost – ako su zvezde u svemiru fraktalno raspoređene, biće ih beskonačno, ali neće se nalaziti u svakoj tački i kosmos noću neće blještati, već će biti taman, kao što i jeste. Jedan od načina koji je ponudio Mandelbrot je da se zvezde postave kao višedimenzionalni oblik jednog fraktala koji je poznat Kantorov skup. To, naravno, ne znači da teorija Velikog praska ne važi i uz takvu mogućnost. Ali, ne znači i da važi. Odgovor bi se možda mogao odgonetnuti samo ako ga, sasvim u duhu Mandelbrota, geometrijski nacrtamo.

Matematika koja se nalazi u osnovi fraktala počela je da poprima svoj oblik još u XVII veku kada je filozof i matemazičar Lajbnic razmatrao osobinu rekurzivnih sličnosti. Georg Kantor je u XIX veku razmatrao primere podskupova realne prave sa neuobičajenim osobinama. Ti Kantorovi skupovi su danas svrstani u fraktale.

Kantor je analizu počeo jednim konopcem koga je podelio na tri dela. Nakon toga je izbacio središnji deo. Ostala dva dela je ponovo podelio na tri dela i kod svakog ponovo izbacio središnji i tako redom.

Tek 1872. godine pojavljuje se prva matematička funkcija čiji bismo grafik danas mogli smatrati fraktalom, kada ju je matematičar Karl Vajerštras definisao kao neintuitivnu osobinu da je na čitavoj oblasti definisanosti bila neprekidna, tako, da ni u jednoj tački nije bila diferencijabilna. Tri decenije kasnije Helg Koh, nezadovoljan Vajerštrasovom apstraktnom i analitičkom definicijom u svom naučnom radu daje geometrijsku definiciju krive koja je danas poznata kao ,,Kohova pahuljica".

Zatim kao primer fraktala možemo posmatrati TROUGAO SJERPINSKOG (Poljski matematičar Vaclav Sjerpinski): Dobija se tako što se krene od punog trougla kome se iseče središnji trougao čija su temena centri strana početnog. Potom se ova procedura nastavi sa novodobijena tri trougla, a zatim sa novonastalih devet tako dalje u beskonačnost.